算法套路十七——买卖股票问题：状态机 DP

状态机DP是一种将动态规划方法应用于有限状态机（Finite State Machine）的问题求解方法。
状态机DP（State Machine DP）是一种动态规划的思想，它通常用于解决一些具有状态转移的问题。在状态机DP中，我们将问题抽象成一个状态机，其中每个状态表示问题的一个子问题，每个状态之间存在状态转移，表示从一个子问题转移到另一个子问题的过程。状态机DP方法也适用于涉及多个子问题之间存在依赖关系的问题，例如字符串匹配、序列比较等。
买卖股票问题是一种典型的状态机 DP问题，设"未持有股票"和"持有股票"两个状态，每个节点表示某一状态下的最大收益，相邻节点之间的边表示在当前状态下进行一次交易得到的收益。

算法示例一：LeetCode122. 买卖股票的最佳时机 II

法一：递归+记忆化搜索

1. 递归函数：dfs(i, hold)表示到第i日，手上是否拿着股票所得到的最大收益。hold为true则表示有股票，为false则表示没有股票
2. 转移方程：
   • 如果第$i$天持有股票，那么当前最大收益由两种可能转移而来：
     • 在第$i-1$天持有股票的情况下并选择不卖出：此时收益就是$dfs(i-1,True)$；
     • 在第$i-1$天不持有股票的情况下并选择买入：此时收益就是$dfs(i-1,False)-prices[i]$，当前利润减去当天价格。
     • 取两者最大值作为转移结果。
   • 如果第$i$天未持有股票，那么当前最大收益由两种可能转移而来：
     • 在第$i-1$天未持有股票的情况下并选择不购买：此时收益就是$dfs(i-1,False)$；
     • 在第$i-1$天持有股票的情况下并选择卖出：此时收益就是$dfs(i-1,True)+prices[i]$，因为当前不具有股票而获得了可用资金。
     • 取两者最大值作为转移结果。
       
3. 边界值：当遍历完所有即i<0时，如果持有股票，返回负无穷（代表不合法状态）；否则返回0
4. 返回值：dfs(n - 1, False)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices) 
        @cache  # 使用缓存装饰器，加速递归函数计算
        # i 表示当前考虑到的股票价格下标，hold 表示当前是否持有股票
        def dfs(i: int, hold: bool) -> int:
            if i < 0:  # 如果已经遍历完所有股票价格
                return -inf if hold else 0  # 如果持有股票，返回负无穷（代表不合法状态）；否则返回零利润。
            # 如果当前已经持有一支股票 
            if hold:      
                #卖或不卖    
                return max(dfs(i - 1, True), dfs(i - 1, False) - prices[i]) 
            #买或不买    
            return max(dfs(i - 1, False), dfs(i - 1, True) + prices[i])
        return dfs(n - 1, False) 

法二：二维dp数组动态规划

直接利用上述递归+记忆化搜索代码转换为动态规划
dp[i][0]表示第i天结束后手里没有股票的最大收益，dp[i][1]表示第i天结束后手里持有一支股票的最大收益，最后返回dp[n][0]，表示在最后一天卖出所有手头的股票后得到的最大收益

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)  
        dp = [[0] * 2 for _ in range(n + 1)]
        dp[0][1]=-inf
        for i, price in enumerate(prices):
            #当前没有股票，只能不买或卖
            dp[i+1][0]=max(dp[i][0],dp[i][1]+price)
             #当前有股票，只能买或不卖
            dp[i+1][1]=max(dp[i][0]-price,dp[i][1])
        return dp[n][0]

算法练习一：LeetCode714. 买卖股票的最佳时机含手续费

func maxProfit(prices []int, fee int) int {
    n := len(prices)
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, 2)
    }
    dp[0][1] = -math.MaxInt32
    for i, price := range prices {
    	//不买或卖
        dp[i+1][0] = max(dp[i][0], dp[i][1]+price)
        //买并支付小费
        dp[i+1][1] = max(dp[i][0]-price-fee, dp[i][1])
        
    }
    return dp[n][0]
}
func max(x, y int) int {if x > y {return x};return y}

算法练习二：LeetCode309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

本题与示例唯一的差距在于多了冷冻期，而这也只会影响买股票这一种情况，由于冷冻期，所以在计算买股票这种情况时，只能用2天前且手上没有股票的最大利润来计算，且第一天结束时不存在前一天买入的情况，因此我们需要对第一天单独处理。

func maxProfit(prices []int) int {
    n := len(prices)
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, 2)
    }
    //-math.MaxInt32表示不符合现实
    dp[0][1] = -math.MaxInt32
    for i, price := range prices {
        //当前没有股票，只能不买或卖
        dp[i+1][0] = max(dp[i][0], dp[i][1]+price)
        //当前有股票，只能买或不卖
        if i>0{
        //i>0时，对于买的情况，由于冷冻期所以只能用dp[i-1][0]即2天前且手上没有股票的最大利润
        dp[i+1][1] = max(dp[i-1][0]-price, dp[i][1])
        }else {
            //i=0即第一天想要有股票只能买
            dp[i+1][1] =-price
        }
    }
    return dp[n][0]
}
func max(x, y int) int {if x > y {return x};return y}

算法练习三：LeetCode123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

递归+记忆化搜索

首先思考递归+记忆化搜索来开拓思路，易知可以在递归中添加一个参数j，来记录当前遍历次数，代码如下所示

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        # 使用cache装饰器来实现记忆化搜索
        @cache
        def dfs(i: int, j: int, hold: bool) -> int:
            # 如果j小于0，表示交易次数已经用完，返回负无穷
            if j < 0:
                return -inf
            # 如果i小于0，表示已经到达第0天，如果持有股票，返回负无穷，否则返回0
            if i < 0:
                return -inf if hold else 0
            if hold:
                return max(dfs(i - 1, j, True), dfs(i - 1, j - 1, False) - prices[i])
            else:
                return max(dfs(i - 1, j, False), dfs(i - 1, j, True) + prices[i])
        return dfs(n - 1, 2, False)

动态规划

根据以上递归过程转换为动态规划，递归函数添加了一个参数，所以我们在动态数组dp中添加一维交易次数，其中dp[i][j][0]表示第i天，最多进行j次交易，且当前不持有股票的最大收益，dp[i][j][1]表示第i天，最多进行j次交易，且当前持有股票的最大收益。

不过需要注意，只有买时才算一次新的交易次数，而卖不算一次新的交易

func maxProfit(prices []int) int {
    n := len(prices)
    dp := make([][][2]int, n+1)
    for i:=range dp{
        dp[i]=make([][2]int,3)
        for j:=0;j<3;j++{
            dp[i][j][1] = math.MinInt32/2
        }
    }
    for i:=0;i<n;i++{
        for j:=0;j<2;j++{
            //不买或卖
            dp[i+1][j+1][0]=max(dp[i][j+1][0],dp[i][j+1][1]+prices[i])
            //不卖或买，买即增加一次交易
            dp[i+1][j+1][1]=max(dp[i][j+1][1],dp[i][j][0]-prices[i])
        }
    }
    return dp[n][2][0]
}
func max(x, y int) int {if x > y {return x};return y}

算法练习四：LeetCode188. 买卖股票的最佳时机 IV

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格，和一个整型 k 。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

直接采用上题的思路，将j的范围由0-2修改到0-k即可

func maxProfit(k int, prices []int) int {
    n := len(prices)
    dp := make([][][2]int, n+1)
    for i:=range dp{
        dp[i]=make([][2]int,k+1)
        for j:=0;j<k+1;j++{
            dp[i][j][1] = math.MinInt32/2
        }
    }
    for i:=0;i<n;i++{
        for j:=0;j<k;j++{
            //不买或卖
            dp[i+1][j+1][0]=max(dp[i][j+1][0],dp[i][j+1][1]+prices[i])
            //不卖或买，买即增加一次交易
            dp[i+1][j+1][1]=max(dp[i][j+1][1],dp[i][j][0]-prices[i])
        }
    }
    return dp[n][k][0]
}
func max(x, y int) int {if x > y {return x};return y}

算法练习五：LeetCode1911. 最大子序列交替和

func maxAlternatingSum(nums []int) int64 {
    //类比买卖股票，即第一次0元买进，之后卖出
    n := len(nums)
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, 2)
    }
    //负无穷表示不符合题意，/2防止越界
    dp[0][0] =math.MinInt64 / 2
    //开始0元买进了股票
    dp[0][1] =0
    for i, num := range nums {
        dp[i+1][0] = max(dp[i][0], dp[i][1]+num)
        dp[i+1][1] = max(dp[i][0]-num, dp[i][1])
    }
    return int64(dp[n][0])
}
func max(x, y int) int {if x > y {return x};return y}