关键词：动态规划 01背包 dfs回溯

一个套路：

• 01背包：空间优化之后dp【target+1】，遍历的时候要逆序遍历
• 完全背包：空间优化之后dp【target+1】，遍历的时候要正序遍历

题目：

解法一：

dfs 回溯

思路：

数组nums 的每个元素都可以添加符号＋或-，因此每个元素有⒉种添加符号的方法，n个数共有2^n种添加符号的方法，对应2^n种不同的表达式。当n个元素都添加符号之后，即得到─种表达式，如果表达式的结果等于目标数target，则该表达式即为符合要求的表达式。
可以使用回溯的方法遍历所有的表达式，回溯过程中维护一个计数器count，当遇到一种表达式的结果等于目标数target时，将count的值加1。遍历完所有的表达式之后，即可得到结果等于目标数target的表达式的数目。

因为nums最多只有20，所以暴力的dfs应该是不会爆的。

回顾一下之前的dfs笔记吧！

中止条件：step>nums.size()

count统计符合个数

分出两个dfs，一个给+一个给-

复杂度计算：

时间复杂度O(2^n)

空间复杂度O(n)

代码：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(std::vector<int>& nums, int target) {
        int count = 0, sum = 0;
        int step = 1;
        dfs(nums, target, step, sum, count);
        return count;
    }
    void dfs(std::vector<int>& nums, int target, int step, int sum, int& count)
    {
        if (step == nums.size() + 1)
        {
            if(sum == target)
                count++;
            return;
        }
        dfs(nums, target, step + 1, sum + nums[step - 1], count);
        dfs(nums, target, step + 1, sum - nums[step - 1], count);
        
    }
};

解法二：

动态规划 01背包

思路：

可以用非常巧的办法转换成用动态规划做。

 得到新的的目标为neg。

之后用01背包的知识就可以完成。

状态：dp[j]：前i个元素中，凑到目标j的方法总数。

转移方程：dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]]

• dp[j]：不需要第i个元素nums[i]的情况下，凑到目标j的方法总数。
• dp[j-nums[i]]：需要第i个元素nums[i]的情况下，凑到目标j的方法总数。

初始条件：因为是计算总和所以设置为0

边界：dp[0]=1 前0个元素，凑到目标0的方法总数为1

复杂度计算：

时间复杂度O(nm) n=neg m=nums.size()

空间复杂度O(n) n=neg

代码：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(std::vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (const auto& x : nums)
            sum += x;
        int diff = sum - target;
        if (diff < 0 || diff & 1)
            return 0;
        int tar = diff / 2;
        std::vector<int> dp(tar + 1);
        //边界条件：当没有任何元素可以选取时，元素和只能是 0，对应的方案数是 1
        dp[0] = 1;//装0个重量，用0个装，一共有一种方法
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i)
        {
            for (int j = tar; j >= nums[i]; --j)
            {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[tar];
    }
};