搜索与图论（一）（深搜，广搜，树与图的存储遍历，拓扑排序）

一、DFS

往深里搜，搜到叶子结点那里，回溯，到可以继续到叶子结点深搜的位置。

1、回溯一定要恢复现场

2、定义一个与当前递归层数有关的终止条件（题目要求的东西）

3、每层都用循环判断是否存在可以dfs的路

输出数字组合

#include<bits/stdc++.h>
//842排列数字 按照字典序将n个数
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int path[N];//记录走过的路径
int st[N];//用来记录某个元素是否被用过
int n;
void dfs(int u)
{
    //先判断是否已经得到一个答案
    if(u==n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)cout<<path[i]<<" ";
        puts("");
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])//剪枝的过程找到可以构成dfs路径的方向
        {
            st[i]=true;
            path[u]=i;
            dfs(u+1);
            path[i]=0;//恢复现场
            st[i]=false;
        }
    }
}
int main()
{
       cin>>n;
       dfs(0);
       return 0;
}

全排列的思想解决n皇后问题，用三个bool数组描述限制条件，用二维char数组保存结果，在恢复现场的时候也要恢复g数组，因为后面的其他结果可能不会将其覆盖掉。

#include<bits/stdc++.h>
//843 n皇后问题（全排列问题）
using namespace std;
const int N=20;
int path[N];//记录走过的路径
char g[N][N];
bool col[N],row[N],dg[N],udg[N];
int n;
void dfs(int u)
{
    //先判断是否已经得到一个答案
    if(u==n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)puts(g[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
       if(!col[i]&&!dg[u+i]&&!udg[n-u+i])
       {
           g[u][i]='Q';
           col[i]=dg[u+i]=udg[n-u+i]=true;
           dfs(u+1);
           col[i]=dg[u+i]=udg[n-u+i]=false;
           g[u][i]='.';
       }
    }
}
int main()
{
       cin>>n;
       for(int i=0;i<n;i++)
          for(int j=0;j<n;j++)
             g[i][j]='.';

       dfs(0);
       return 0;
}

按照元素枚举的方式解决n皇后问题

#include<bits/stdc++.h>
//843 n皇后问题（全排列问题）
using namespace std;
const int N=20;
int path[N];//记录走过的路径
char g[N][N];
bool col[N],row[N],dg[N],udg[N];
int n;
void dfs(int x,int y,int u)//x为行，y为列
{
    if(y==n)y=0,x++;
    if(x==n)
    {
        if(u==n)//有可能到头了也没有找到全部的皇后
        {
            for(int i=0; i<n; i++)puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }

    //为什么要添加xy两个参数
    //因为这个思路不是循环式地剪枝，是利用递归进行搜索
    //处理坐标

    //不放当前位置
    dfs(x,y+1,u);
    //放当前位置
    if(!row[x]&&!col[y]&&!dg[x+y]&&!udg[n-y+x])
    {
        g[x][y]='Q';
        row[x]=col[y]=dg[x+y]=udg[n-y+x]=true;
        dfs(x,y+1,u+1);
        g[x][y]='.';
        row[x]=col[y]=dg[x+y]=udg[n-y+x]=false;
    }


}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            g[i][j]='.';
    dfs(0,0,0);
    return 0;
}

二、BFS

一层一层地搜索，如果边都是1，bfs第一次搜到的点具有最短路性质

1、具有最短路性质的原因：因为bfs每次都向外扩展一层，依次找到距离起点为1,2,3的所有点。

#include<bits/stdc++.h>
//844走迷宫//添加路径
using namespace std;
const int N=110;
typedef pair<int,int>PII;
int g[N][N];//存图
int d[N][N];//存距离
PII q[N*N];//模拟队列
PII pre[N][N];//路径的前驱
//由于最短路性质，可以直接将当前节点前的一个结点作为前驱
int n,m;

void bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof d);//用于判断是否是第一次访问到
    //一个点可以有多个路径到达，但是第一个到达的一定是最短路
    d[0][0]=0;
    int hh=0,tt=0;
    q[0]={0,0};
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,-1,0,1};
    while(hh<=tt)//只要非空
    {
       auto t=q[hh++];
       for(int i=0;i<4;i++)
       {
           int x=t.first+dx[i],y=t.second+dy[i];
           if(x>=0&&x<n&&y>=0&&y<m&&g[x][y]==0&&d[x][y]==-1)
           {
               d[x][y]=d[t.first][t.second]+1;
               q[++tt]={x,y};
               pre[x][y]=t;
           }
       }
    }
    int x=n-1,y=m-1;
    while(x||y)
    {
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
        x=pre[x][y].first;
        y=pre[x][y].second;
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<m; j++)
            cin>>g[i][j];
    bfs();
    cout<<d[n-1][m-1];
    return 0;
}

三、邻接表邻接矩阵存图

1、邻接表的存法

2、使用h数组作为槽，利用e和ne数组和idx构造单链表存槽中相应结点有边相连的节点、

根据题意利用从1深搜，每一层用res存最大的子图的点数,每次计算出一个子连通图添加到sum中。

#include<bits/stdc++.h>
//846 树重心
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=N*2;
typedef pair<int,int>PII;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
bool st[N];
//h保存n个头结点
//在用数组模拟链表时，e保存链表结点值，ne保存边
//idx让这一切有序
int ans=N,n;//存结果
int dfs(int u)//u是结点的名字不是idx性质的
{
    st[u]=true;//标记这个结点已经被搜索过了
    //在遍历当前节点的所有子树之前
    int sum=1;//存所有子树的节点个数
    int res=0;//记录各个连通子图的节点个数
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j =e[i];
        if(st[j]==false)//只要这个结点的子树还没计算
        {
            int t=dfs(j);
            res=max(res,t);//存最大连通子图
            sum+=t;//所有子树
        }
    }
    res=max(res,n-sum);
    ans=min(ans,res);//保存最小的最大连通子图

    return sum;

}

void add(int a,int b)//头插法
{
  e[idx]=b;//每个idx都代表一个链表上的节点
  ne[idx]=h[a];
  h[a]=idx++;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    //memset(st,false,sizeof st);
    //所有结点的单链表指向的位置都为空
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b),add(b,a);
    }
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;

}

3、邻接表利用bfs计算最短路

#include<bits/stdc++.h>
//847图中点的层次
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2*N;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int d[N],q[N];
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int bfs()
{
    int hh=0,tt=0;
    memset(d,-1,sizeof d);
    q[0]=1;//1是结点的名字，入队
    d[1]=0;//到第一个结点的距离为0
    //数组模拟队列的时候hh永远指向队列的第一个元素，tt永远指向队尾，所以判断队列不为空的判断条件是hh<=tt。

    while(hh<=tt)
    {
      int t=q[hh++];//拿出队头元素
      for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])//遍历与其相连的所有边
      {
          int j=e[i];//
          if(d[j]==-1)
          {
             d[j]=d[t]+1;
             q[++tt]=j;
          }

      }
    }
    return d[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
    }
    cout<<bfs()<<endl;
    return 0;
}

4、有向无环图一定有拓扑序列，拓扑排序的实现

#include<bits/stdc++.h>
//848拓扑排序
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2*N;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int d[N],q[N];

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool topsort()
{
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!d[i])q[++tt]=i;
    }
    while(hh<=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
           int j=e[i];
           d[j]--;
           if(!d[j])q[++tt]=j;

        }
    }
    return tt==n-1;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
        d[b]++;
    }
    if(!topsort())puts("-1");
    else
    {
        for(int i=0;i<n;i++)cout<<q[i]<<" ";
        puts("");

    }
}