[蓝桥杯 2015 省 B] 生命之树

题目描述

在 X 森林里，上帝创建了生命之树。

他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，代表这个点的和谐值。

上帝要在这棵树内选出一个节点集合 $S$（允许为空集），使得对于 $S$ 中的任意两个点 $a,b$，都存在一个点列 $a,v_1,v_2,\cdots ,v_k,b$ 使得这个点列中的每个点都是 $S$ 里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。

在这个前提下，上帝要使得 $S$ 中的点所对应的整数的和尽量大。

这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。

经过 atm 的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。

输入格式

第一行一个整数 $n$ 表示这棵树有 $n$ 个节点。

第二行 $n$ 个整数，依次表示每个节点的评分。

接下来 $n-1$ 行，每行 $2$ 个整数 $u,v$，表示存在一条 $u$ 到 $v$ 的边。由于这是一棵树，所以是不存在环的。

输出格式

输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。

样例 #1

样例输入 #1

5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5

样例输出 #1

8

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le 10$。

对于 $100\%$ 的数据，$0<n\le 10^5,$ 每个节点的评分的绝对值不超过 $10^6$。

时限 3 秒, 256M。

蓝桥杯 2015 省赛 B 组 J 题。

---

思路

首先，定义一些常量和全局变量。其中，N 是节点的最大数量，w[N] 是存储每个节点的评分，dp[N] 是存储每个节点的最大分数，g[N] 是一个向量数组，存储图的邻接表。

dfs 函数是深度优先搜索的实现。在这个函数中，首先将当前节点的评分赋值给 dp[x]，然后遍历当前节点的所有邻居节点，如果邻居节点不是父节点，则将邻居节点的最大分数加到 dp[x] 上。

状态转移方程为：

$$dp[x]=w[x]+\sum _{i\in g[x],i\ne fa}\max (dfs(i,x),0)$$

其中，$dp[x]$ 表示以 $x$ 为根的子树中，按照题目要求选取节点后，能得到的最大和谐值。$w[x]$ 是节点 $x$ 的权值，$g[x]$ 是节点 $x$ 的所有子节点，$fa$ 是节点 $x$ 的父节点。

以 $x$ 为根的子树中，能得到的最大和谐值，等于节点 $x$ 自身的权值，加上它所有子节点中，以子节点为根的子树能得到的最大和谐值之和。这里的最大和谐值是非负的，如果以某个子节点为根的子树的最大和谐值是负数，那么就不选取这个子树。

在 main 函数中，首先读取节点的数量 n，然后读取每个节点的评分，接着读取每条边的两个节点，将这两个节点分别添加到对方的邻居列表中。然后调用 dfs 函数计算每个节点的最大分数，最后遍历 dp 数组，找出最大的分数并输出。

---

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e5 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int w[N];
ll dp[N];
vector<int> g[N];

ll dfs(int x, int fa) {
	dp[x] = w[x];
	// cout << x << " ";
	for (const auto i : g[x]) {
		if (i == fa) {
			continue;
		}
		dp[x] += max(dfs(i, x), 0LL);
	}
	return dp[x];
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i];
	}
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}

	dfs(1, 0);

	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, dp[i]);
	}
	cout << ans << endl;

	return 0;
}

---