蓝桥杯：大臣的旅费（dfs,bfs,python）（树的直径问题）

本题还是比较有意思的，跟以往图论有所不同的是，之前的图论大部分都是二维或者三维数组（类似迷宫问题那样），本题则是邻接表，也可以是树形存储方式。

题目：

题目链接：大臣的旅费
很久以前，T 王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。为节省经费，T 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。

同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。J 是 T 国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。聪明的 J 发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关。

具体来说，一段连续的旅途里，第 1 千米的花费为 11，第 2 千米的花费为 12，第 3 千米的花费为 13，…，第 x 千米的花费为 x+10。也就是说，如果一段旅途的总长度为 1 千米，则刚好需要花费 11，如果一段旅途的总长度为 2 千米，则第 1 千米花费 11，第 2 千米花费 12，一共需要花费 11+12=23。

J 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式
输入的第一行包含一个整数 n，表示包括首都在内的 T 王国的城市数。城市从 1 开始依次编号，1 号城市为首都。接下来 n−1 行，描述 T 国的高速路（T 国的高速路一定是 n−1条）。
每行三个整数 Pi,Qi,Di，表示城市 Pi 和城市 Qi 之间有一条双向高速路，长度为 Di 千米。

输出格式
输出一个整数，表示大臣 J 最多花费的路费是多少。

数据范围

1≤n≤105,
1≤Pi,Qi≤n,
1≤Di≤1000

输入样例：

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

输出样例：

135

思路：

本题有个巧妙的思路，求花费最多路费就是求最长路径问题，而花费和路程之间有个关系式为总花费 = 10 * 总长度 + （1 + 总长度）* 总长度 /2

本题求路径总长度有一种说法是求树的直径问题，因为本题图的结构可以看作是树，树的直径则是树的最大长度问题。

如何求树的直径呢？
很简单，只需要两步

首先任选一点 x，求出离该点最远的点 y
选取 y 点重复上述操作，选取离 y 点最远的点 z

这样就可以求得树的直径，直径为 y 到 z 点的距离。

这个方法也很好证明，大家使用反证法就可以得出，这里就只说求求解方法不细说证明过程了。因为证明过程不是本题重点。

可能本题第一眼看上去是需要构造树来进行存储，但是图论中的存储基本是用不到树的（就我个人而言，构造树来存储很麻烦，一是不会构造树，二是构造了树也不会存储），这里可以用邻接表来存储。

图的存储

图一般有两种存储方式：

邻接矩阵

开个二维数组，g[i][j] 表示点 i 和点 j 之间的边权。邻接矩阵适合处理小规模问题。

邻接表

邻接表有两种常用写法，我推荐第二种，代码更简洁，效率也更高。
(1) 二维vector：vector<vector> edge，edge[i][j] 表示第 i 个点的第 j 条邻边。
(2) 数组模拟邻接表：为每个点开个单链表，分别存储该点的所有邻边。

因为本题是无向图，所以往返两个点都要存

python">h = [[] for i in range(n + 1)]
for i in range(n - 1):
    p, q, d = map(int, input().split())
    h[p].append([q, d])
    h[q].append([p, d])

思路有了，表的存储结构也有了，那么如何实现求树的最长直径呢？

这里可以用dfs或者bfs来搜索最短路径，因为可能会回到本身，所以在搜索时要把走过路程不做二次选择。

方法一：DFS

在搜索之前需要创建一个数组用来存储路径。首先任选一点，因为搜索时要判断不能走之前走过的点（也就是前一个点），所以dfs函数多加一个参数来记录前一个走过的结点，dfs函数还需要一个参数来记录走到该点时的距离为多少。

dfs函数代码如下：

python">def dfs(node, father, distance):
    dist[node] = distance
    for i, j in h[node]:
        if i != father:
            dfs(i, node, distance + j)


dist = [0 for _ in range(n + 1)]
dfs(1, -1, 0)
max_index = dist.index(max(dist))
# dist = [0 for _ in range(n + 1)] (可以省略，没有必要写)
dfs(max_index, -1, 0zh)
max_distance = max(dist)

第一个dfs(1, -1, 0)表示任选一个节点1，节点1的上一个节点不存在，所以定义为-1（只要是不存在的节点就行），走到该点时的距离为0（初始距离为0）
max_index 表示离1节点最远的节点，之后重复dfs，找到最远距离max_distance

代码及详细注释：

python">n = int(input())
h = [[] for i in range(n + 1)]
# 构建邻接表，h[i]存储与节点i相连的节点及距离
for i in range(n - 1):
    p, q, d = map(int, input().split())
    h[p].append([q, d])
    h[q].append([p, d])

# 深度优先搜索函数，计算每个节点到根节点的距离
def dfs(node, father, distance):
    dist[node] = distance
    for i, j in h[node]:
        if i != father:
            dfs(i, node, distance + j)

dist = [0 for _ in range(n + 1)]
dfs(1, -1, 0)
max_index = dist.index(max(dist))  # 找到距离最远的节点
# dist = [0 for _ in range(n + 1)] (可以省略，没有必要写)
dfs(max_index, -1, 0)
max_distance = max(dist)
# 计算结果并输出
print(10 * max_distance + (1 + max_distance) * max_distance // 2)

方法二：BFS

BFS思路和DFS相同，不过BFS没有爆栈风险，可以放心写。

代码及详细注释：

python">from collections import deque

n = int(input())
h = [[] for i in range(n + 1)]
# 构建邻接表，h[i]存储与节点i相连的节点及距离
for i in range(n - 1):
    p, q, d = map(int, input().split())
    h[p].append([q, d])
    h[q].append([p, d])

# 宽度优先搜索函数，计算从节点u出发的最远距离和对应的节点
def bfs(u):
    q = deque()
    q.append(u)
    dist = [-1 for _ in range(n + 1)]
    dist[u] = 0
    while q:
        node = q.popleft()
        for path in h[node]:
            val, distance = path[0], path[1]
            if dist[val] == -1:
                dist[val] = dist[node] + distance
                q.append(val)
    max_dist = max(dist)
    max_index = dist.index(max_dist)
    return max_dist, max_index

max_distance, max_index = bfs(1)  # 从节点1出发计算最远距离和对应节点
max_distance, max_index = bfs(max_index)  # 从最远节点出发再次计算

# 计算结果并输出
print(10 * max_distance + (1 + max_distance) * max_distance // 2)